|
BÖLME ve BÖLÜNEBİLME
A. BÖLME
A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,
bölme işleminde,
A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
A = B × C + K dir.
Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri
değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam
bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile
bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın
(son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam
bölünür.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile
bölümünden kalana eşittir.
... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın
5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi
için,
olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7k
olmalıdır.
Ü
Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan
sayının (...a5 a4 a3 a2 a1 a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ...
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,
(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin
sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.
6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki
rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile
tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
Ü
Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının
(... abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8
ile bölümünden kalana eşittir.
7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9
ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir.
Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden
kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi
için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve olmalıdır.
Ü
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile
bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına
da tam bölünür.
2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür.
4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4
ile 6 aralarında asal değildir.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,
A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.
Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C
ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal
sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C
ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.
144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam
bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam
bölünemez.
E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde
yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması
denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar
olmak üzere,
A = am . bn . ck olsun.
Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:
A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,
(m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam
bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,
2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı
bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak
bulunur.
A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,
– (a + b + c) dir.
A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,
A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:
E.B.O.B. - E.K.O.K.
A. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (E.B.O.B.)
En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak
bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve
e.b.o.b. biçiminde gösterilir.
E.b.o.b. bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan
asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların e.b.o.b.
unu verir.
Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise e.b.o.b. tanımlı olup e.b.o.b.(a ; b) ³ 1 dir.
a = b = 0 ise e.b.o.b.(a ; b) tanımsızdır.
B. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (E.K.O.K.)
Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak
katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve e.k.o.k.
biçiminde gösterilir.
E.k.o.k. bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan
asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların e.k.o.k.
unu verir.
a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise, e.k.o.k.(a ; b) tanımsızdır.
a ve b pozitif tam sayı, a £ b ise,
e.b.o.b.(a ; b) £ a £ b £ e.k.o.k.(a ; b)
a × b = e.b.o.b.(a ; b) × e.k.o.k.(a ; b)
a ile b aralarında asal ise, e.b.o.b.(a ; b) = 1
Ü
İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun
çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu
sayıların e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun çarpımına eşit olmayabilir.
Ü
A pozitif tam sayısı a × b ile tam bölünebiliyor ve e.k.o.k.(a ; b) = x
ise, A sayısı x ile tam bölünür.
Ü
a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,
nin en sade biçimi olmak üzere
Ü
En sade biçimdeki kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir,
Ü
E.b.o.b.(a ; b) = x ise,
Ü
E.b.o.b.(x × a ; x × b) = x × E.b.o.b.(a ; b)
Ü
E.k.o.k.(x × a ; x × b) = x × E.k.o.k.(a ; b)
Ü
a ile b ardışık iki doğal sayı ise,
E.b.o.b.(a ; b) = 1,
E.k.o.k.(a ; b) = a × b dir.
Ü
a, b, c ardışık üç doğal sayı ise,
E.b.o.b.(a ; b ; c) = 1 dir.
|
